写在前面的话

熟悉的老伙伴，都知道写在前面的话，经常是题外话，不过似乎感兴趣的人更多。今天也先来点题外话。
一般可以认为，活荷载、风荷载、雪荷载符合极值I型分布（Gumbel分布）。那么股市的估值会是什么分布呢？

注：这是2013年机器喵先生分析的结果。（其实A股分析存在一个问题，上证综指是失真的无法反应全市场的情况。）

感兴趣的可以继续研究一下。话说，数学的确是我们认识世界的好工具。本人惭愧，学艺不精，美好E=MC²的精神境界令人向往。
好了，回到正题。

年最大风速分布可以认为符合极值I型分布（Gumbel分布）

分布函数为
G_I(x)=e^{-e^{-y(x)}}
表示任意年份的极值x_i小于任意选定值x的概率。其中，
y=\alpha(x-\mu)
\alpha=\dfrac{C_1}{\sigma}
\mu=\bar{x}-\dfrac{C_2}{\alpha}
其中，\bar{x}和σ分别为n个年度极值x_i的平均值和标准差。变异系数为 \nu=\dfrac{\delta}{\bar{x}}
可以看出C₁和C₂其实分别就是y的标准差和平均值，它与观测序列的长度n有关。

x的年超越概率为
G(x)=1-G_I(x)

重现期为超越概率的倒数
T(x)=\dfrac{1}{G(x)}

将G_I(x)带入，得
\dfrac{1}{T}=1-e^{-e^{-y}}

两侧取对数，得
y=-\ln(-ln{(1-\dfrac{1}{T}}))
可以看出，重现期T不依赖于x的均值和标准差。
另外，当T比较大时，可由泰勒展开公式简化，y≈lnT

重现期为T的最大风速x可以表达为：
x=\mu-\dfrac{y}{\alpha}
x=\bar{x}-\dfrac{\sigma}{C_1}(C_2-y)
x=\bar{x}\left(1+\dfrac{\delta}{\bar{x}}(\dfrac{y-C_2}{C_1})\right)
x=\bar{x}\left(1+\nu\dfrac{y-C_2}{C_1}\right)

设
K_{sp}=\dfrac{\nu}{C_1-C_2\nu}

则各重现期与50年重现期的转换系数可以表示为
C_{prob}=\dfrac{x_T}{x_{50}}=\dfrac{1-K_{sp}\ln(-\ln{\left(1-\dfrac{1}{T}\right))}}{1-K_{sp}\ln(-\ln{\left(1-\dfrac{1}{50}\right))}}
C_prob只与重现期T、变异系数ν、测量序列的长度n（样本年数）有关。

其中关于C₁和C₂的计算

可以用经验分布函数（它实际就是累积频率直方图的上边）来近似G_I(x)。
y\left(x\right)=-\ln(-\ln{\left(G_I\left(x\right)\right)})

则y的值可取为1到n个z_i：
z_i=-\ln(-ln\dfrac{i}{n+1})

则有
C_1=\sigma_z=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(z_i-\bar{z})}^2=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{z_i^2-{\bar{z}}^2}
C_2=\bar{z}
当n无限大时， C_1=\dfrac{\pi}{\sqrt{6}} , C_2=0.57722 （为欧拉常量）

工程实践中各重现期风速与50年重现期的转换可以参考以下情况：

1. 在EN50341-1中，采用上面的推导的公式，其中风速的变异系数取0.12，观测数据取30年，则K_sp=0.114。转换系数为
C_{prob}=0.692-0.079ln(-ln(1-\dfrac{1}{T}))

2. 在ASCE7中，根据文献Peterka, J.A., and Shahid, S. (1998). Design gust wind speeds in the United States. J. Struct. Eng. 124(2), 207–214.。对于非飓风区转换系数为
C_{prob}=0.36+0.10ln(12T)

3. 在中国规范中，根据文献《结构风工程：理论规范实践》。转换系数为
C_{prob}=\sqrt{\dfrac{(0.363log{T}+0.463)}{1.08}}

4. 在EN1991-1-4中，风压的变异系数取24，观测数据取无穷。转换系数为
C_{prob}=\sqrt{0.562-0.112ln(-ln(1-\dfrac{1}{T}))}
（P.S. 对于Euorcode1的如此处理本人存疑？长重现期的风速会明显偏小。有知道原因的大神可以来讲讲）

各重现期风速与50年重现期的转换系数如下所示

小知识：设计基准期、重现期、设计使用年限间的关系。

重现期T为某事件出现或发生的平均时间间隔。

设计基准期N（是衡量基准，选定后不变，一般为50年）内的超越概率为
P_N=1-(1-\dfrac{1}{T})N
若年超越概率2%即重现期T=50年，设计基准期N=50年，则P_N=63%

设计使用年限L（根据业主要求确定，一般为50年或100年）内的超越概率为
P_L=1-(1-\dfrac{1}{T})L
移项后两边取对数
ln(1-\dfrac{1}{T})=\dfrac{ln(1-P_L)}{L}
当T较大时，由泰勒展开公式， ln(1-\dfrac{1}{T})\approx-\dfrac{1}{T}
T≈-\dfrac{L}{ln(1-P_L)}

令，设计使用年限L内的超越概率与50年设计基准期内的超越概率具有相同的水平
T\approx-\dfrac{L}{ln(1-63\%)}
则有T≈L，即重现期可取为与设计使用年限相同。
例如设计使用年限取100年时，对于风载采用100年重现期的风荷载即可。